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1矩阵论 - 道客巴巴

来源:未知 编辑:admin 时间:2019-06-03

  1 矩阵论 1. 数学推理能力,计算能力。过渡矩阵,变换矩阵,度量矩阵。 2. 线性空间,线性变换。Euclid 空间即实内积空间,酉空间复内积空间。映射和函数。集合,空,子,并, 和,延伸为变换,然后用矩阵表示线性变换。运算变换可以理解为一种约束。 3. 线性空间,在某种运算下某空间是某数域的线性空间。加法交换律和结合律,乘法结合律和分配律。1,V 是个非空的,它里面的元素叫向量,2,这些向量必须满足一些性质,对加法运算封闭对乘法运算封闭,还要满足八条性质。线性空间零元素唯一,负元素唯一。向量线性相关,向量线性无关。最大无关组的向量的个数,叫线性空间的维数。 ...

  1 矩阵论 1. 数学推理能力,计算能力。过渡矩阵,变换矩阵,度量矩阵。 2. 线性空间,线性变换。Euclid 空间即实内积空间,酉空间复内积空间。映射和函数。集合,空,子,并, 和,延伸为变换,然后用矩阵表示线性变换。运算变换可以理解为一种约束。 3. 线性空间,在某种运算下某空间是某数域的线性空间。加法交换律和结合律,乘法结合律和分配律。1,V 是个非空的,它里面的元素叫向量,2,这些向量必须满足一些性质,对加法运算封闭对乘法运算封闭,还要满足八条性质。线性空间零元素唯一,负元素唯一。向量线性相关,向量线性无关。最大无关组的向量的个数,叫线. 基,基分量,坐标,基变换,坐标变换。各个基分量之间线性无关。复数域是实数的 2 维空间。基 1 和 j。 基变换,坐标变换,过渡矩阵。线 是 V 的一个非空子集,并且满足线性空间的条件可加性数乘性。零空间。基张成子空间。子空间的交也是子空间。子空间都有零元素。和空间也是子空间。并空间不一定是子空间。维数公式说明和空间的维数会有交叉量相关量维数小于空间维数之和,少的部分由交集补上。核空间即零空间,零度。秩与零度相加等于 N。直和无交。零元素有不同表达方式。齐次方程的通解,0 元素在任何基下的坐标是 0 向量,但是非 0 元素在任何基下可能是 0 向量。生成子空间,值域,核零空间,特征子空间。空间越小越可能不成为线性空间,不满足对加法乘法运算封闭。两个行列式为零的同阶方阵之和不一定行列式为零,两个幂等矩阵之和不一定是幂等矩阵。空间的并不对元素运算,只对空间相加;空间的和是对元素作加法而形成的新空间。原本线性无关,扩大数域可能会变成线性相关。矩阵的值域的基是矩阵的列向量的一个最大无关组。零空间的基是齐次方程组的一个基础解系。求空间的基和维数,矩阵的一般形式。变换的值域的基和维数。矩阵的。最大无关组。求空间的和与交。没有要求空间的并的吗?和与直和的概念有点象。过渡矩阵的求法。法 1,BAC,新基等于旧基乘以过渡;法 2,CC1C2。旧基的逆乘新基得旧基到新基得过渡。列向量。一个量在不同基下的坐标相同表明在两个基1 下存在坐标相同的向量存在。存在相同坐标得充要条件是 1 是 C 的一个特征值。线性变换矩阵求法,直接法,中介法,混合法。法 1,给定基变换到值域变换信息,值域用给定基表示,联立方程求系数,系数作为列向量得线性变换在给定基下的矩阵;法 2,给定基在简单基下的过渡矩阵 C,线C,得变换在给定基下得矩阵,没有涉及值域。法 3,给定基变换到值域, 值域在简单基下的矩阵 B 变换信息,给定基在简单基下的表示 C,得到线性变换在给定基下的表示矩阵 AC1B。已知两个基,线性变换一个基,线性变换表示与所选的基有 关,它们是相似的,但是象点与简单基有关,与变换所选的基无关,只是可以表示成别的基下的形式而已。几个关系,旧基,新基,过渡矩阵,旧坐标,新坐标,过渡矩阵,旧基下线性变换矩阵,新基下线性变换矩阵,象点在简单基旧基新基下的表示。注意都是列向量。知道其中的关系,在有一定的方向性,就可以推导了!简单基下给定基的表示矩阵,线性变换为对角矩阵时对应基的求法,矩阵在特征向量为基的情况下是对角矩阵。线性运算在简单基下矩阵是 A,A 对角化,特征值,特征向量,在特征向量为基下矩阵表示成对角矩阵。简单基是怎么取出来的???求基础解系。如何求特征值,特征向量???线性运算在简单基下的矩阵,对角化,求得新基,运算在新基下的矩阵表达为对角矩阵。特征向量不能为零。 5. 不变子空间与直和。Vn 可分为 s 个 T 的不变子空间的直和。VnV1V2Vs 每个不变子空间中 取基,每个子空间都有基,共有 i 个基,把它们合并起来,可以作为 Vn 的基,矩阵分解。直和,空间加法,添加空间的维数。内积为零,正交。元素与空间正交,比如,线与面正交。空间与空间正交,比如面与面正交。基相同,则空间等价。正交变换正交基仍然是正交基,过渡矩阵当然是正交矩阵。子空间中非空,则和空间中肯定有不在子空间中的元素,即线性组合出的新元素。线性变换。旋转,微分,积分都是线性变换。线性变换可能会把线性无关的向量组变为线性相关的向量组。但是变换矩阵如果是满秩的,则不会改变空间的线性关系。我们描述变换用矩阵,变换矩阵的秩和亏,变换的值域和核域。线性变换,矩阵表示。单位变换和零变换,它们都是线性变换,线性变换,一可加性二数乘性。矩阵运算,求逆,乘法。相似与合同。线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的。同一元素在不同基下的度量矩阵是合同的。反身性,对称性,传递性。 6. 矩阵描述:特征值、特征向量,特征子空间,迹,对角线元素求和,相似矩阵的迹相同。线性变换的矩阵 特征多项式与基的选择无关,特征多项式被线性变换唯一确定。Sylvester 定理;Hamilton-Cayley 定理,矩阵根(零点),有何意义?说明了什么问题?用来求高次矩阵。最小多项式的次数不大于特征多项式的次数。最大公因式。特征值不同,则特征向量线性无关。特征值特征向量,对角阵是在以特征向量为基的情况下的表示。特征值唯一,特征向量不唯一,换句话说特征向量可以唯一确定特征值,特征值不能唯一确定特征向量。特征值特征向量的求法。对角矩阵。如何对角化,并不是所有矩阵都可以对角化。Cholesky 分解! 7. 任意 n 阶矩阵与三角矩阵相似。如何三角化,技巧与经验,可用 A 的多线性无关的特征向量,比较麻烦。 矩阵对角化,特征向量线性无关,完备的特征向量系。Jordan 化:一个矩阵可以化为很多相似类,三角化,对角化,Jordan 化。在复数域上,任何矩阵都相似与一个 Jordan 标准形,Jordan 标准形是准对角矩阵。分为 s 个 Jordan 块,一般矩阵的 Jordan 标准形存在,多项式矩阵,初等变换化标准形,不变因子。初等因子组,初等因子组随系数域不同而不同。每个复矩阵 A 都有一个 Jordan 标准形,信息除了 Jordan 块的序外,被唯一确定。非奇异矩阵的求法,广义特征向量。1.28 说明一个矩阵过渡矩阵 P 的求法;1.26 说明一个矩阵的 Jordan 标准形的求法。化标准形实际上选择适当的线性空间的基,在新基 下,问题的数学形式简单而已!如何 Jordan 化???行列式因子法,初等变换法,初等因子。 8. 欧氏空间是定义了内积的线性空间,一个特殊的线性空间,又称实内积空间。向量内积与所选的基无关。 向量长度,向量夹角。内积条件:交换律,分配律,齐次性,非负性。度量矩阵描述的是所选基相对标准正交基的不同,是一个对空间表达的方式。度量矩阵(Gram 矩阵)定义所选的基分量作内积,内积矩阵,实对称阵正定阵。向量内积,矩阵内积,坐标内积。标准正交基的构造,可以用 Schmidt 正交化,可以用合同矩阵的方法。相似是说同样的运算在不同基下表示的矩阵是相似的,描述的是同一个运算;合同是说一个空间的度量矩阵在不同基下表示是合同的,描述的是一个空间。我们可以利用合同矩阵构造正交标准基。范数,向量长度距离模。规范化,单位化。向量夹角,内积除以范数得夹角余弦。Cauchy 不等式,Schwarz 不等式,三角不等式。正交,内积为零。商高定理,勾股弦定理,正交化。正交变换与正交矩阵,长度不变,旋转变换。正交变换则这个变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵,对称变换在标准正交基下得矩阵是对称矩阵。实对称矩阵。1 对称阵特征值是实数。2 对称阵特征值不同,对应的特征向量是正交的。3,对称阵同一特征值对应的特征向量是线性无关的,但不是正交的。正交变换是单位变换,长度不变,只是角度变化。正交或垂直,cos(x,y)2(x,y)(y,x) (x,x)(y,y),(x,y)=0 时称 x 和 y 正交。正交化,正交基,正交 向量组,标准正交基。正交补与直和补。相似与合同。内积的判定,交换律,分配率,数乘性,非负性。可以采用 Schmidt 正交化方法,也可以使用合同变换的方法。度量矩阵已知,找 C 使得 CACI。CQ1 2T。正交变换(Tx,Tx)=(x,x),对称变换(Tx,y)=(x,Ty) 9. 酉空间复数空间,特殊的复数空间,复内积空间。酉变换(x,y)(Tx,Ty),x,yV。酉化类似正交化, AAAAHHI。交换律,分配律,奇次性,非负性。Hermite 变换类似对称变换,转置且共轭。(Tx,y)(x,Ty),Hermite 矩阵,特征值都是实数,特征值不同,特征向量必定正交。加强 Schur 定理:酉矩阵,若 ACmn 特征值12n,则 P-1AP=PHAP;特征值是实数,正交矩阵。正规矩阵 AAAAHH。 10. 酉化,条件矩阵是正规矩阵;正交化,条件也是正规矩阵。1 实对称矩阵可以酉化成对角状态。2 若 T 是 n 欧氏空间的对称变换,则在 V 中有标准正交基,使得 T 在该基下的矩阵是对角矩阵,即可以酉化成对角 状态,酉化的条件是 AHAAAH 或 P1APPHAP 对角阵 P 存在,对角化的条件是 N 个线性无关的特征向量,或 P-1APdiag(1,2,,n)P 存在。酉化的条件比对角化强,酉化则可以对角化,不仅可 以对角化,而且是正交化,不仅 N 个线性无关的特征向量,而且矩阵本身是正规阵。酉相似与正交相似。酉相似特征值是复数,正交相似特征值是实数。 11. 矩阵的谱分解???没有要求。

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